Старжинская О.Н.
Северный Арктический Федеральный университет им. М.В. Ломоносова
О НЕКОТОРЫХ ПОДХОДАХ К ВВЕДЕНИЮ ПОНЯТИЯ ИНТЕГРАЛА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Аннотация
В статье рассматриваются некоторые подходы к введению понятия интеграла в курсе математического анализа средней школы. Исследованы преимущества и недостатки этих подходов.
Ключевые слова: первообразная, криволинейная трапеция, сумма Римана, числовое множество, интегральное исчисление
Keywords: antiderivative, curvilinear trapezium, the sum of Riemann, numerical set, integral calculus
Включение основ математического анализа в среднюю школу вызвано практическими потребностями и нацелено на рассмотрение основной идеи интегрального и дифференциального исчисления и приложения их к решению практических задач.
В школе на изучение основ математического анализа выделяется небольшое количество часов, в течение которых планируется дать представление учащимся об основных понятиях математического анализа и их приложениях. Естественно, что в таких условиях следует искать пути изучения, отличающиеся от вузовского, с отказом от излишней формализации, с выработкой наглядных представлений, с опорой на геометрическую интерпретацию основных понятий и с применением моделей из физики, биологии, химии. Глубокое усвоение научных знаний происходит тогда, когда научные понятия, выведенные из анализа и синтеза конкретных предметов и явлений, усваиваются в единстве с научными теориями или гипотезами. В тесной связи с этим требованием выступает необходимость такой постановки обучения, при которой перед учащимися раскрывалась бы история открытия изучаемого явления и научных законов, охватывающих все явления. Очень важно, чтобы учащиеся познакомились с историей важнейших открытий в науке, как бы побывали в научной лаборатории ученого, проникли бы в задачи, которые стояли перед ними, и в способы исследования, которые ими были приняты.
Прежде чем выбрать один из вариантов изложения понятия интеграла, необходимо выяснить, а какие цели и задачи стоят перед рассматриваемым понятием в общеобразовательной школе.
Во-первых, это общеобразовательные цели: учащиеся должны познакомиться с идейной стороной анализа, его простейшими фактами и, по возможности, приложениями в геометрии, механике, физике, технике.
Во-вторых, введение интегрального исчисления в среднюю школу ориентировано главным образом на приложение интеграла и предусматривает выработку соответствующих умений и навыков.
В-третьих, необходимо создавать предпосылки для настоящего серьезного восприятия курса математического анализа в высших учебных заведениях. С этих позиций и нужно рассматривать возможные подходы к введению понятия интеграла.
Первый возможный подход заключается в рассмотрении интеграла как приращения первообразной. Введению понятия интеграла как приращения первообразной предшествуют изучение вопроса о семействе первообразных к данной функции, а также геометрическое представление о первообразной функции , рассматриваемой в точке , как площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции на отрезке оси . Преимуществом такого определения являются простота и ясность, а также то, что основные его свойства при таком введении оказываются простыми следствиями соответствующих теорем дифференциального исчисления. Основным методическим недостатком является удаление определения от реального происхождения рассматриваемого объекта и в связи с этим неясность идейной сущности интеграла и затрудненность его физических приложений. Кроме того, пользуясь определением интеграла, как приращения первообразной от элементарной функции, мы не всегда сможем выразить его через элементарные же функции, а следовательно, необходимо определить интеграл таким образом, чтобы определение было применимо во всех случаях. Иначе при дальнейшем, более глубоком изучении математического анализа придется заменять введенное определение новым, что послужит причиной возникновения трудности в формировании понятия интеграла. Этот способ введения получил наибольшее распространение в школьных учебниках по курсу «Алгебра и начала анализа», таких как: «Алгебра и начала анализа 10-11» под редакцией А.Н. Колмогорова [2]. Это обусловлено, видимо, тем, что на изучение интеграла программой отведено недостаточное количество часов.
Следующий подход к введению понятия – интеграл как предел интегральных сумм. Этот способ определения интеграла идут от традиционных вузовских и университетских курсов анализа. Это определение носит конструктивный характер. Оно основано на обобщении известного способа вычисления многих величин: работы, площади, массы, заряда. Этот способ введения интеграла использовали в учебном пособии «Алгебра и начала анализа» [3]. Такой метод введения соответствует историческому ходу событий, позволяет вскрыть сущность понятия и обосновать причины необходимости его появления. Этот способ обладает алгоритмичностью и создает удобства для физических приложений. Однако основным недостатком определения интеграла как предела суммы Римана является необходимость высокого уровня подготовки учащихся, приступающих к изучению интегрального исчисления и, прежде всего, глубокого знания теории пределов.
Еще один способ определения понятия интеграла – интеграл как единственное разделяющее число. В качестве основы изложения был выбран «принцип разделяющей точки двух числовых множеств». Этот способ бы применен для изложения основ математического анализа Н.Я. Виленкиным и С.И. Шварцбурдом в учебном пособии «Математический анализ», предназначенный для обучения курсу математического анализа учащихся 10 и 11 классов с математической специализацией [1]. Удобство этого способа заключается в том, что понятие о единственном разделяющем числе рассматривалось ранее в курсе алгебры при введении понятия иррационального числа и в курсе геометрии при доказательстве теорем о площади и длине круга; поэтому не является новым для учащихся.
Изложение в школе элементов математического анализа в большинстве случаев в значительной мере копирует вузовские курсы. Более разумным является переход на уровни менее формального изложения, где большую роль должны играть геометрические интерпретации и иллюстрации из курса физики. Изучение опыта преподавания начал анализа в школе показывает, что усвоение основных понятий математического анализа представляют для учащихся общую трудность. При изучении основных понятий математического анализа следует основной упор делать не на вычислительную сторону, а на вскрытие идейной сущности понятийного аппарата, делать акцент на содержательное обоснование свойств изучаемых понятий.
Литература
- Виленкин, Н.Я. Математический анализ: учебное пособие для 9-10 классов сред. школ с матем. специализацией/ Н.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 1973. – 576 с.
- Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 2008. – 384 с.
- Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа: учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Б.Е. Вейц и др. – М.: Просвещение, 1987. – 335 с.